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主成分分析在STATA中的实现以及理论介绍

主成分分析在STATA中的实现以及理论介绍
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第十二章 主成分分析

主成分分分析也称作主分量分析,是霍特林 (Hotelling)在 1933年首先提 出。 主成分分析是利用降维的思想, 在损失较少信息的前提下把多个指标转化为 较少的综合指标。 转化生成的综合指标即称为主成分, 其中每个主成分都是原始 变量的线性组合, 且各个主成分互不相关。 Stata 对主成分分析的主要内容包括:主成分估计、主成分分析的恰当性(包括负偏协方差矩阵和负偏相关系数矩阵、 KMO(Kaiser-Meyer-Olkin)抽样充分性、 复相关系数、 共同度等指标测度) 、 主成 分的旋转、预测、各种检验、碎石图、得分图、载荷图等。

p j n

i b a y ij j i ij , , 2, 1, , 2, 1, ' ==+=ε 主成分的模型表达式为:

p p j i i i i diag v v v v i p V V C λλλλλλλ≥≥≥=∧=''==∧=∑ 2121), , , , (0

1

其中, a 称为得分, b 称为载荷。主成分分析主要的分析方法是对相关系数 矩阵(或协方差矩阵)进行特征值分析。

Stata 中可以通过负偏相关系数矩阵、 负相关系数平方和 KMO 值对主成分分 析的恰当性进行分析。 负偏相关系数矩阵即变量之间两两偏相关系数的负数。 非 对角线元素则为负的偏相关系数。 如果变量之间存在较强的共性, 则偏相关系数 比较低。 因此, 如果矩阵中偏相关系数较高的个数比较多, 说明某一些变量与另 外一些变量的相关性比较低, 主成分模型可能不适用。 这时, 主成分分析不能得 到很好的数据约化效果。

Kaiser-Meyer-Olkin 抽样充分性测度也是用于测量变量之间相关关系的强 弱的重要指标,是通过比较两个变量的相关系数与偏相关系数得到的。 KMO 介于 0于 1之间。 KMO 越高,表明变量的共性越强。如果偏相关系数相对于相关系数 比较高, 则 KMO 比较低, 主成分分析不能起到很好的数据约化效果。 根据 Kaiser (1974) , 一般的判断标准如下:0.00-0.49, 不能接受 (unacceptable ) ;0.50-0.59, 非常差(miserable ) ; 0.60-0.69,勉强接受(mediocre ) ; 0.70-0.79, 可以接受 (middling ) ; 0.80-0.89,比较好(meritorious ) ; 0.90-1.00, 非常好 (marvelous ) 。

SMC 即一个变量与其他所有变量的复相关系数的平方, 也就是复回归方程的 可决系数。 SMC 比较高表明变量的线性关系越强,共性越强,主成分分析就越合 适。

成分载荷、 KMO 、 SMC 等指标都可以通过 extat 命令进行分析。

多元方差分析是方差分析在多元中的扩展, 即模型含有多个响应变量。 本章 介绍多元(协)方差分析以及霍特林(Hotelling) 均值向量 T 检验。

12.1 主成分估计

Stata 可以通过变量进行主成分分析, 也可以直接通过相关系数矩阵或协方 差矩阵进行。

(1) sysuse auto,clear

pca trunk weight length headroom

pca trunk weight length headroom, comp(2) covariance

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